Nós

Nós para marinheiros, alpinistas, pescadores, escuteiros, donas de casa, amantes de bondage e meros curiosos. Com instruções e animação video detalhada para cada um deles. Cortesia do Grog.

Laces

33 formas de pôr atacadores em sapatos.
As minhas favoritas são todas as que permitem não ter de amarrar os sapatos...Tal como a que se vê acima- Ideal para crianças e deficientes



http://www.shoe-lacing.com/shoelace/lacingmethods.htm

Grupo de Lie E8

É uma das estruturas matemáticas simétricas mais complexas que se conhece: 248 dimensões com a informação guardada numa matriz de 205,263,363,600 entradas. Trata-se de uma configuração de vectores num espaço euclideano a 8 dimensões. Pode ler sobre os recentes avanços matemáticos em torno dela aqui.

O teorema da Barba

Mais uma dos rejeitados da wikipedia:

"The Beard Theorem is a political theorem that relates to the Communist Party and its members. The Beard Theorem is a theory that suggests that the size of one's Beard, whether it be a puff, French Fork or Mutton Chop, has a direct correlation to the radicality of a person's Socialist views. If one was to have a large, beard, that person has a higher chance of being a communist revolutionary than one other person who has only as moustache, or worse: no facial hair at all. This theorem is proved by many of the communist Russian revolutionaries of the 1900's, those like Karl Marx, who has a massive, beard and, in accordance to the theorem, is a great communist. V.I. Lenin, the leader of the Russian Revolution, had a beard, yet it was not as profound, thus he is not as truly communist as Marx or Engels, as he has a relatively small beard, but it is still present and is truth of his communisity. Josef Stalin, the leader of the Communist Vanguard Party in Russia from the mid 1920's to 1952, has no beard, yet has a moustache. Stalin, in accordance to the theorem thus has very little Communist Blood in him, as he is a Stalinist, and a social fascist. Exceptions to the rule is most East Asian Communist leaders."

Penrose Aperiódico

Dúvidas na escolha dos azulejos para o WC?
Não pense mais nisso.

Circular

Há uns 30 anos estas figuras geométricas podiam ser feitas por qualquer criança munida de uma esferográfica e de um escantilhão em plástico especifico para gerar este tipo de desenhos, que se vendiam em bancas de rua.
O dito cujo escantilhão não fazia mais do que permitir gerar círculos cujos centros estavam relacionados entre si por múltiplos ou fracções do número dourado. O mínimo que se pode dizer sobre os resultados é que fazem com que qualquer pessoa que odeie matemática passe a interessar-se automaticamente por geometria.

O número dourado ou regra de ouro conhecido por "fi" é um número irracional muito importante com utilidades várias, a maior parte delas relacionadas com geometria. Ao longo dos tempos foi muito usado em proporções arquitectónicas por arquitectos e em perpectiva por pintores famosos da antiguidade.

A Superfórmula

A Superfórmula¹ é uma única equação que pode ser utilizada para descrever vários tipos de formas geométricas. Apenas modificando os parâmetros podemos gerar vários polígonos diferentes. Usando a Superfórmula é possível gerar a maior parte das formas que encontramos na natureza. Isso torna-a uma ferramenta essencial para os biólogos computacionais que se dedicam à morfogénese.

A maior parte das formas que encontramos na natureza pode ser analisada em termos de círculos e harmónicas usando análise de Fourier. D'Arcy Thompson, em 1917, no seu trabalho seminal "On growth and form" foi um dos pioneiros a mostrar que as formas esféricas, circulares e cilíndricas abundam na natureza e que se pode estabelecer uma relação entre estas e funções trigonométricas.

Actualmente a visualização de organismos biológicos através de modelação usando diversos tipos de algoritmos permite resultados extremamente realistas. A Superfórmula é uma forma muito económica e elegante de descrever e gerar sistemas geométricos complexos. Uma única equação permite gerar múltiplas formas geométricas. Com grande economia de código. O trabalho de J. Gielis¹ exemplifica isso com a geração de diatomaceas triangulares, hexagonais e pentagonais prossegue com uma série de outras microalgas que possuem formas tão variadas como rectângulos e estrelas, concentra-se depois na forma de várias conchas, de moluscos a caracóis espiralados e por fim mostra como se pode usar a superfórmula para gerar estruturas do tipo pétala de flor.

Quem quiser divertir-se com a Superfórmula pode fazer download do programa feito por Paul Bourke em OpenGL (Shareware. versões para windows, Mac e Linux). A imagem que encima o post foi gerada nele.

Referências:
1 J. GIELIS; American Journal of Botany 90(3): 333–338. 2003.

Optimizacão

A optimização, uma área cientifica onde o objectivo é obter a melhor solução possível para um dado problema complexo exige a aplicação de técnicas matemáticas avançadas. Dois tipos de problemas clássicos de optimização são o do caixeiro viajante - em que se pretende saber qual é o percurso ideal para o caixeiro viajante visitar várias cidades gastando o menor tempo e gasolina possíveis (minimizar os custos para o patrão)- e o do empacotamento ou das caixas - em que o objectivo é saber qual é o número minimo de caixas que são necessários para empacotar um número máximo de objectos.
Para a resolução deste tipo de problemas recorre-se à utilização de algoritmos e computadores. Mas nalguns sitios do mundo parecem existir peritos em problemas de optimização que recorrem a uma abordagem empírica com excelentes resultados. Estes fíeis seguidores de Bacon, recorrem ao método cientifico e chegam a brilhantes resultados de optimização apenas através da experimentação.
Nas figuras abaixo apresento algumas provas documentais:

Origami II

Mais alguma conversa sobre origami e o seu interesse práctico.
Enviaram-me dois papers, um sobre a optimização de embrulhar sólidos (de certeza que permite poupar muito papel ao pai Natal) e outro sobre estrutura 3D de proteínas. Parece que matematicamente há relações entre o enrolamento das proteínas para atingir uma configuração estável e a maneira óptima de efectuar dobragens num papel para atingir um dado objectivo.

Entretando descobri os seguintes sites com origamis espectaculares:

• Whole movement- O Sr. Hansen-Smith constrói figuras geométricas apenas a partir da dobragem de círculos. Vários livros publicados e uma galeria de fotos.
• Langorigami- O Sr. Lang faz e vende sobretudo origamis de animais e plantas. Vários livros publicados.
  
• Erik Demaine (MIT) mantém uma página sobre matemática pura e dura relacionada com dobragens (e por tabela origami). Vários papers científicos.
  
• Alex Bateman tem uma página com possibilidade de download de vários origami interessantes que vêm com instruções.
  

O origami mais espectacular de todos que descobri é sem dúvida o da esponja de Menger/Serpinski feita com 66 000 cartões de visita em apenas 30 Horas pela Sra. Mosely (figura abaixo extrema esquerda).

Origami I

O Origami, a arte de dobrar papel para pessoas com paciência infinita e mão firme, ganha um novo impeto com o uso do computador e conhecimentos bebidos da matemática e da física.
O Origami Sekkei- origami técnico- permite fazer outras brincadeiras para além dos básicos bonequinhos tradicionais.
Abaixo uma simpática lagosta em origami e ao lado a folha de papel que foi usada para a fazer.
As marcações geométricas na folha, obtidas computacionalmente, permitem ajudar a construir a lagosta.

Só não vem com sabor!

Estas brincadeiras têm no entanto aplicação. Por exemplo para optimizar o espaço de armazenagem ocupado por caixas e outros volumes. Se forem guardadas desmanchadas e espalmadas poupa-se muito espaço. Outra aplicação é a dobragem optimizada de airbags em carros.

Abaixo um sapo em origami e ao lado a folha de papel com as marcações que o permitem fazer. O programa utilizado para a concepção foi o TreeMaker.

Mais Crochet

Mais crochet e tricot interessantes

Ming-Yi Sung, Goat














Elizabeth Morisette, Gastric


















Katharine Cobey, Worried

Crochet Hiperbólico

A matemática Daina Taimina da Univ. de Cornell desenvolveu uma série de modelos físicos de espaços hiperbólicos .... em crochet

Os modelos são extremamente úteis para demonstrar a falsidade do quinto axioma de Euclides e as diferenças entre espaços euclidianos e espaços hiperbólicos.

Modelo de uma pseudoesfera

Os modelos acima estão incluídos na colecção de modelos matemáticos americanos do Smithsonian.

A matemática do Sudoku

A matemática do Sudoku num bom artigo da American Scientist Online (se descontarmos o tentarem dizer que o inventor do Sudoku era americano).
Contém respostas a questões que aqui deixei noutro post sobre estes puzzles há uns tempos.

Atrai ... Repele...

O simpático disco acima é um íman de neodímio. Tal como os ímanes normais este também atraí metais, a diferença é que este é extremamente potente. 2 ímanes como o da foto podem partir-se ao embaterem um contra o outro ou partir dedos que encontrem pelo caminho quando se atraem. Qualquer objecto metálico solto que esteja a menos de 50 cm de distância destes magnetos voa literalmente na sua direcção. Sendo extremamente potentes o campo magnético pode dar cabo de tudo o que seja drives de computador, monitores, cartões com banda magnética, relógios, leitores de video e etc... Se procurava o presente ideal para dar a alguém por quem tem um ódio de estimação já encontrou!

Os 2 cilindros acima são feitos de bismuto, um material fortemente diamagnético (repele campos magnéticos). Com estes cilindros e dois pequenos cubos de neodímio é possível fazer experiências caseiras de levitação magnética. Na foto tenta-se atrair os 2 cubos de neodimio entre si ( o segundo cubo está fora da foto), mas um dos cubos tem o caminho obstruído pelos cilindros de bismuto. O resultado final quando se consegue um equilíbrio de forças é a levitação.

Para além das brincadeiras caseiras acima e de uns globos com o mapa do mundo que levitam e se vendem por aí, estes efeitos têm aplicações práticas. A mais conhecida é provavelmente a levitação magnética em comboios (MAGLEV). Os comboios MAGLEV levitam sobre os carris e deslocam-se sem um motor convencional, apenas com base no campo magnético. Estes podem atingir velocidades de 500 Km/h, o equivalente a um avião. A China é o único pais mundial que já tem uma linha MAGLEV a funcionar. Os custos envolvidos nesta tecnologia de ponta são elevadissímos, por isso nem o Japão nem a Alemanha, os dois países que têm vindo a desenvolver esta tecnologia têm nenhuma linha comercial MAGLEV. O Japão tem uma linha de testes.

Respondendo à pergunta de um amigo meu: É possível pôr uma pessoa a levitar com este efeito?
- Sim em teoria, mas os campos magnéticos envolvidos teriam de ser muitíssimo elevados o que iria causar outros problemas. Mas no passado, já se puseram pequenos animais (sapos) a levitar.

Sudoku, Binoku e Hexoku

Variantes interessantes e irónicas do Sudoku, o Binoku e o Hexoku, publicados pelo jornal "o diferencial" do Instituto Superior Técnico têm a mesma finalidade e regras que o Sudoku.

O Binoku pode ser resolvido por qualquer mentecapto que saiba o que são binários. Vem aliás acompanhado da informação que o grau de dificuldade é : Nulo. É para ser resolvido em binários!

O Hexoku é para ser resolvido em hexadecimais. Aqui ficam 2 problemas para se entreterem.

Sudoku

O Sudoku é a nova febre dos puzzles. Depois de fazer uns 5 ou 6 permaneço mais ou menos imune à febre. Reconheço que é tão agradável como fazer palavras cruzadas, diferenças ou sopas de letras, mas não passa disso. Não me atraí muito porque a lógica de resolução é sempre a mesma e a maior parte dos que aparecem pelos jornais são tão fáceis que nem é preciso fazer suposições. Resumindo - Boring!

Mais interessante é expremer este jogo: Um Sudoku com uma quadricula de 9X9 tem 6,670,903,752,021,072,936,960 possibilidades de colocar números de forma correcta. Este e outros cálculos relacionados com puzzles Sudoku podem ser feitos usando umas rotinas desenvolvidas por B. Felgenhauer (É preciso saber C e matemática avançada).
Deixo-vos uma pergunta: quantos números precisamos que estejam inicialmente na grelha de um Sudoku 9X9 para termos a certeza de obter uma solução única?

O imprevisto

O post era para se chamar "Dar Aulas". Mas assim ninguém lia. Ficou "O imprevisto", porque vou falar de Dinis Pestana, um insuspeito catedrático de rosto circunspecto que ensina probabilidades e estatística na FCUL.
Não o conheço de parte nenhuma. Mas chegou-me hoje um e-mail com uma pérola. Um enunciado de exame de sua autoria com a prova viva de que o massacrado Monsanto ainda inspira:


Uma rápida pesquisa na net revela que este Dinis Pestana é o mesmo que comentou a mentecapta metodologia de seriação das escolas secundárias com o lacónico:

"... Se 100% das pessoas que morrem com um cancro praticaram relações sexuais ou são filhas de pessoas que praticaram relações sexuais, então aquela prática explica a preocupante prevalência da doença. Poderia também citar-se a afirmação, muito em voga, de que se uma altíssima percentagem de condutores vítimas de acidentes de viação tem muito álcool no sangue, então o álcool é perigoso para a condução. O raciocínio é completamente errado (note-se que se podia substituir álcool no sangue por ter os cabelos escuros) o que obviamente também não significa que a ingestão de álcool não tenha influência nos acidentes."

Não há muito que se possa dizer sobre estudos mal feitos pois não?

O mesmo Dinis Pestana que motiva os alunos com estudos estatísticos sérios sobre se "a mais velha profissão do mundo é bem paga" (Sim, um estudo sobre isto pode ser sério e ter interesse social) e pondo-os a jogar às cartas a dinheiro nas aulas.
O mesmo que diz que as aulas servem para "despertar o interesse dos estudantes para adquirir o verdadeiro conhecimento" e que "o que falta aos alunos portugueses é incentivos e precisam de ter a noção da extraordinária competição que existe. Uma das coisas que mais me choca é ver que os nossos jovens são descuidados em relação àquilo que os rodeia e aquilo que nos rodeia é uma internacionalização em que cada vez mais vamos ter em Portugal indivíduos oriundos de outros países, com um conhecimento científico muito profundo e que podem tomar conta dos lugares para os quais os nossos jovens não estão preparados e isso é uma situação que me assusta imenso”.
Um professor que ainda encara a profissão como um sacerdócio e não como um trabalho como qualquer outro.

O imprevisto, esse, espreita-nos a cada esquina, já a probabilidade associada a Dinis Pestanas é infelizmente baixa.

Peter Lax e o Expresso

Trazia o jornal Expresso este sábado um artigo sobre Peter Lax e o Prémio Abel. E que fotografia de Lax acompanhava o artigo? A mesma que figura no post do Figmento a falar sobre o assunto.



Esta foto de Lax não foi que eu saiba a distribuída à imprensa. Trata-se de uma foto tirada durante uma conferência onde Lax esteve. Também não me recordo de ter visto Nuno Crato, que assina o artigo sobre Lax no Expresso, nessa conferência. Concluíndo, será possível que o Expresso ande a ler o Figmento e a levar coisas cá de casa?? Ao menos obrigado, não! Ou veio doutro sítio??

Prémio Abel - Peter Lax

Peter Lax, uma grande figura da matemática pura e aplicada ganha o prémio Abel 2005 pelo seu trabalho em equações diferenciais às derivadas parciais. Às quais dedicou quase toda a vida desde a sua tese de doutoramento.

O jornal Público traz uma noticia sobre isso mas vem acompanhada de uma foto do Lax com alguns anos em cima (Lax nasceu em 1926 na Hungria)! Lax também é famoso pelas suas deliciosas anedotas contadas nas aulas e por brincadeiras criativas como a que se segue:

"In the mid 1980s, Peter D. Lax, a top mathematician, told me and other people that one of his papers (submitted under his secretary's name), was rejected by the very good but in principle expository periodical ``The American Mathematical Monthly". The rejection was motivated by the fact that the paper was concerned with research (while the Monthly publishes expository papers)"

O seu nome está associado ao teorema da equivalência de Lax, à condição de entropia de Lax e à teoria de Lax-Levermore entre outras. O seu trabalho abrange vários ramos da matemática e computação com aplicações sobretudo em mecânica dos fluídos, computação e ciência dos materiais.

Extraído do Jornal Público de hoje:

"O prémio Abel da matemática, instituído pela Academia Norueguesa de Ciências e Letras, foi atribuído ontem a Peter Lax, do Instituto Courant de Ciências Matemáticas da Universidade de Nova Iorque (EUA).

Os membros da academia fundamentaram a sua decisão nos contributos dados por este matemático no estudo das equações diferenciais às derivadas parciais, seja no campo teórico, seja nas suas aplicações e determinação numérica de soluções. O montante do prémio ascende a seis milhões de coroas norueguesas (cerca de 735 mil euros).

A versatilidade é uma das características geralmente apontadas a Lax, que estabeleceu muitas pontes entre os domínios das matemáticas puras e aplicadas. Nas décadas de 50 e 60, estabeleceu os fundamentos da teoria das equações diferenciais não lineares relacionadas com sistemas hiperbólicos. Um exemplo deste tipo de sistemas é o aparecimento das ondas de choque quando um avião ultrapassa a velocidade do som.

As equações diferenciais têm desempenhado um papel importante na compreensão científica da natureza desde Isaac Newton. Mas se as lineares são hoje razoavelmente bem compreendidas, as não lineares - como as que surgem no estudo da elasticidade, meteorologia ou aerodinâmica - são muito mais complexas e as suas soluções têm singularidades como as ondas de choque .

Peter Lax construiu soluções explícitas deste tipo de equações e identificou classes de sistemas "bem comportados" - com singularidades previsíveis -, além de ter contribuído para o estudo do comportamento das soluções num período alargado de tempo. É o que se passa nas alterações de uma onda quando torneia um obstáculo, um fenómeno de disseminação que ocorre não só nos fluidos mas também na física atómica.

Por outro lado, desenvolveu modelos numéricos para o cálculo computacional das soluções que se revelaram frutuosos em aplicações reais, como previsões meteorológicas e o design de aeronaves.

Considerado um matemático versátil (a teoria dos números faz parte dos seus domínios predilectos), Lax é o autor de um teorema de equivalência, que possui o seu nome, tido como um marco na moderna análise numérica: são estabelecidas as condições em que uma aproximação numérica conduz à convergência para a solução de uma equação diferencial.

Nascido em Budapeste (Hungria), em 1926, Peter Lax acompanhou os seus pais quando emigraram, em 1941, para os Estados Unidos. A sua ligação à Universidade de Nova Iorque é longa e iniciou-se na década de 40, altura em que aí se licenciou e fez o doutoramento. No período pós-guerra, Lax esteve também ligado ao Projecto Manhattan, em Los Alamos. A partir de 1951, abraçou a carreira universitária, e dirigiu o Instituto Courant (um centro de investigação em matemática e ciências da computação) de 1972 a 1980. Os trabalhos publicados por Peter Lax - que presidiu à Sociedade Americana de Matemática entre 1977 e 1980 - já lhe fizeram merecer vários prémios, entre os quais a medalha nacional de Ciência atribuída pelo governo norte-americano em 1986.

O prémio Abel, considerado como o Nobel da matemática, foi atribuído pela primeira vez há dois anos, quando se celebrou o bicentenário do nascimento do matemático norueguês Niels Abel. Peter Lax sucede, assim, a Jean-Pierre Serre (área da topologia, geometria algébrica e teoria dos números) e à dupla Michael Atiyah e Isadore Singer (descoberta e demonstração do Teorema do Índice, nos campos da geometria, topologia e análise). "

Nós de gravata

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Sempre à mão nos momentos urgentes.